ทฤษฏีของนอร์ตัน

วงจรไฟฟ้าในบางกรณี อาจไม่เหมาะสมที่จะแสดงให้อยู่ในรูปของวงจรสมมูลเทเวนิน วงจรสมมูลนอร์ตัน จึงเป็นอีกหนึ่งตัวเลือกที่อาจมีความเหมาะสมกว่า หลักในการวิเคราะห์หาวงจรสมมูลนอร์ตันมีความคล้ายคลึงกับการวิเคราะห์หาวงจรสมมูลเทเวนิน ซึ่งมีรายละเอียดดังต่อไปนี้ (Alexander & Sadiku, 2009)

             ทฤษฎีบทนอร์ตัน กล่าวไว้ว่า “วงจรเชิงเส้นสองขั้วใดๆ สามารถแสดงให้อยู่ในรูปของแหล่งกำเนิดกระแสอิสระขนานกับตัวต้านทาน โดยที่กระแสของแหล่งกาเนิดมีค่าเท่ากับกระแสลัดวงจรระหว่างสองขั้วที่พิจารณา และความต้านทานมีค่าเท่ากับความต้านทานสมมูลระหว่างสองขั้วที่พิจารณา ซึ่งคำนวณในภาวะที่แหล่งกาเนิดอิสระทุกตัวไม่จ่ายกาลัง” รายละเอียดของกระแสและความต้านทานสมมูลนอร์ตันระหว่างขั้ว a-b แสดงในรูปที่ 1 และวงจรสมมูลนอร์ตันระหว่างขั้ว a-b แสดงในรูปที่ 2

รูปที่ 1 กระแสและความต้านทานสมมูลนอร์ตันระหว่างขั้ว a-b

รูปที่ 2 วงจรสมมูลนอร์ตัน

 ความสัมพันธ์ระหว่างแรงดันสมมูลเทเวนินและกระแสสมมูลของนอร์ตันคือ ..................(1)

 สมการที่ (1) แสดงให้เห็นว่าเมื่อทราบวงจรสมมูลนอร์ตันสามารถคำนวณหาแรงดันและความต้านทานของวงจรสมมูลเทเวนินได้

ตัวอย่างที่ 1 จากวงจรในรูปที่ 3 จงวิเคราะห์หาวงจรสมมูลนอร์ตัน

รูปที่ 3 วงจรสำหรับตัวอย่างที่ 1 (Rizzoni & Hartley, 2000)

วิธีทำ คำนวณหาความต้านทานสมมูลนอร์ตันระหว่างขั้ว a-b ด้วยการเปิดวงจรแหล่งกำเนิดกระแส 2 A และลัดวงจรแหล่งกำเนิดแรงดัน 6 V จะได้วงจรผลลัพธ์ดังนี้

 รูปที่ 4 วงจรสำหรับคำนวณหาความต้านทานสมมูลนอร์ตัน

 ความต้านทานสมมูลนอร์ตันคือ

มีค่าดังนี้ ..................(2)

คำนวณหากระแสสมมูลนอร์ตันด้วยการลัดวงจรระหว่างขั้ว a-b จะได้วงจรผลลัพธ์ดังนี้

รูปที่ 5 วงจรสำหรับคำนวณหาความต้านทานสมมูลนอร์ตัน

 จากวงจรในรูปที่ 5 กระแสเมช i1 มีค่าเท่ากับ ..................(3)

สมการตามกฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์สำหรับเมช i2 คือ ..................(4)

สมการตามกฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์สำหรับเมช iN คือ ..................(5)

เขียนสมการที่ (4) - (5) ให้อยู่ในรูปของสมการเมทริกซ์ จะได้..................(6) 

ผลเฉลยสำหรับ iX คือ ..................(7) 

ดังนั้น วงจรสมมูลนอร์ตันมีทอพอโลยีดังแสดงในรูปที่ 6

รูปที่ 6 วงจรสมมูลนอร์ตันของตัวอย่างที่ 1

ตัวอย่างที่ 2 จากวงจรในรูปที่ 7 จงวิเคราะห์หาวงจรสมมูลนอร์ตัน

รูปที่ 7 วงจรสำหรับตัวอย่างที่ 7 (Hayt et al., 2007)

วิธีทำ คำนวณหาความต้านทานสมมูลของนอร์ตันด้วยการลัดวงจรแหล่งกำเนิด 4 V และเพิ่มแหล่งกำเนิด แรงดัน 1 V ระหว่างขั้วa-b จะได้วงจรผลลัพธ์ดังนี้

รูปที่ 8 วงจรคำนวณหาความต้านทานสมมูลนอร์ตัน

สมการตามกฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ที่โนด v คือ  ..................(8)

 ดังนั้นกระแส iX มีค่าเท่ากับ ..................(9)

 ความต้านทานสมมูลนอร์ตันจึงมีค่าเท่ากับ ..................(10)

คำนวณหากระแสสมมูลของนอร์ตันด้วยการลัดวงจรระหว่างขั้ว a-b จะได้วงจรผลลัพธ์ดังนี้

รูปที่ 9 วงจรคำนวณหาความต้านทานสมมูลนอร์ตัน

    เนื่องจากจุดที่ลัดวงจรแรงดันมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น Vx = 0 V ส่งผลให้แหล่งกำเนิดกระแสไม่อิสระ ไม่มีกระแสจ่ายให้กับวงจรจากกฎของโอห์มกระแสมีค่าเท่ากับ ..................(11)

ดังนั้น วงจรสมมูลนอร์ตันมีทอพอโลยีดังแสดงในรูปที่ 10

 

รูปที่ 10 วงจรสมมูลนอร์ตันของตัวอย่างที่ 2